Az ergodicitás kérdése a befektetési döntésekben, avagy meddig járhat a korsó a kútra? (2. rész)

Mielőtt az ergodicitás kérdésének befektetésekre vonatkozó gyakorlati aspektusaival foglalkoznánk, érdemes megemlíteni, hogy az együttesátlag alapján számolt várható értékkel, más szavakkal az ergodicitás hiányával, kapcsolatos „zűrök” meglehetősen régóta foglalkoztatják már a matematikusokat, közgazdászokat. A probléma egyik leghíresebb manifesztációja az ún. Szentpétervár paradoxon (helyszűke miatt a leírása itt található) amelyben az adott játék együttesátlag (ensemble average) alapján számolt kifizetésének várható értéke végtelen. Ennek ellenére intuitíve is érezzük, hogy a játékban való részvételért nem fizetnénk „végtelen összeget”, azaz a hagyományosnak tekintett, bekövetkezési valószínűségeken és azok kifizetésén alapuló várható érték számítás nem működik.

A paradoxonra számos megoldás született (pl.: a vagyon logaritmikusan csökkenő hasznosságából fakadó közgazdaságtani megoldás), azonban témánk szempontjából sokkal relevánsabb Ole Peters matematikus munkája, amely alapvetően a játék nem-ergodikus természetéből vezeti le megoldását. Más szavakkal egy játékos sem képes egyszerre végtelen játékot párhuzamosan játszani, ahol érvényesülne az együttesátlag hatása, illetve végtelen idővel és végtelen vagyonnal se rendelkezik, hogy ezt egymás után megtegye. Ez esetben is a logaritmus játszik kulcsszerepet a megoldásban, az optimális megoldás ugyanis a vagyon változás logaritmusának maximalizálásából fakad, amely számos professzionális szerencsejátékos, kereskedési stratégia alapját is képezi. Röviden a Szentpétervár paradoxon megoldása is visszavezethető a „párhuzamos univerzumok” és az „egy játékos-egy élet-egy út” közti ellentétre, amelyet az ergodicitás hiánya okoz.

Az elméleti háttér áttekintése után felmerül a kérdés: Mi következik abból a való életben, hogy a piaci folyamatok nem ergodikusak?

• Dinamikus, nem ergodikus valószínűségi folyamatok során bizonyos fokú „paranoia” nem emberi gondolkodásbeli hiba, hanem a túlélés egyik záloga. Az emberek többsége nem egyszer és nem egyféle alacsony valószínűségű, de jelentős hatású eseménynek van kitéve élete során, hanem ismétlődő módon szembesül ezekkel. Így míg egy adott esetet és egy periódust vizsgálva racionális az együttesátlag alapján számolt bekövetkezésének valószínűséget a döntésekben alkalmazni, addig több periódus esetén – az ergodicitás hiánya miatt – ennél magasabb döntési súly használatát sem feltétlenül nevezhetjük irracionálisnak, különösképpen a jelentősen kedvezőtlen hatású eseményekkel való szembesüléskor.
• A piaci folyamatok nem ergodikus természetből fakadóan az időátlag kisebb, mint az együttesátlag alapján számolt várható érték (szaknyelven megfogalmazva ez a „volatility drag” hatása). Ezért a befektetési folyamat során a cél a szekvencia függő („path dependent”), kezdeti feltételekre érzékeny időátlag és az együttesátlag által adott várható érték közelítése. Ennek elsődleges feltétele az egyes befektetési pozíciók megfelelő méretezése (pontosabban az adott pozíción maximálisan kockáztatott összeg meghatározása) úgy, hogy ne szenvedjünk el egy pozíción se jóvátehetetlen mértékű tőkeveszteséget, de az indokoltnál óvatosabb kockázatvállalás mellett felvett túl alacsony méretű pozíciók okozta hozamkiesést is kiküszöböljük. Fontos hangsúlyozni, hogy mind a két feltétel kulcsfontosságú, nem elég az egyikre, vagy a másikra koncentrálni, ez adja a helyzet komplexitását. A pozíciók méretezésére megoldás lehet például a Kelly kritérium, amely a hosszabb távú vagyonnövekedést igyekszik optimalizálni a vállalható pozíciónagyság vagyonarányos meghatározásával. Természetesen piaci helyzetekben nehéz a kritériumhoz szükséges paramétereket pontosan megadni, de megfelelő gondolkodási keretet ad minden befektető számára. Például egyes híres befektetők a Kelly kritérium által adott érték felét tartják optimális mértéknek, mások ennél agresszívebb pozícióvállalást javasolnak.
• Kelly képletében, az Ole Peters által számolt megoldásokban és a hagyományos közgazdaságtanban sejtés alapján számolt hasznossági függvényben is a logaritmikus függvény jelenik meg. Miután a logaritmikus függvény alakja konkáv, ezért a pozitívval abszolút értékben megegyező mértékű negatív hozam relatíve nagyobb hatással van a tényleges vagyonváltozásra, ami megfelel valóságnak (például egy 50%-os értékvesztés után 100%-os emelkedés szükséges ahhoz, hogy ugyanabba a pontba érjünk vissza, feltéve, hogy nem mentünk csődbe eközben) és az empirikusan is megfigyelhető veszteség kerülésnek („loss aversion”). Ez sok esetben ellentétben áll a hagyományos várható értékre és szórásra épülő technikával, ahol az idő és az útfüggőség nem jelenik meg expliciten a döntési folyamatban. Röviden, nem az aritmetikai átlagon alapuló várható hozammal leírt vagyonnövekedést, hanem a vagyonnövekedési ráta logaritmusát szükséges maximalizálni.
• A befektetés során tehát a cél, hogy a volatilitás okozta vagyoningadozás ne okozzon csődeseményt, ugyanakkor az esetlegesen túl kicsi méretű vagyonarányos pozíció felvételből fakadó elmaradó vagyonnövekedést is kiküszöböljük. Az első bejegyzésben leírt Ole Peters által megadott pénzfeldobásos játékban (50%-os nyereség fej, 40%-os veszteség írás esetén) például hozzávetőlegesen a 20-25%-a a teljes vagyonra vetítve a kockáztatható összeg optimális értéke egy adott periódusban, amely tartós vagyonnövekedést eredményez. Bizonyos tekintetben ezért a nem kockáztatott pénz egyfajta „időgép” szerepet tölt be, hiszen biztosítja a befektető számára az újrakezdést.
• Hosszabb távú befektetések esetén – kényszerlikvidálási nyomás hiányában, megfelelő tőkeáttétel és relatív alacsony valószínűségű csődkockázat mellett, amit például a diverzifikáció segíthet, alacsony éves tőkekiáramlást feltételezve – nő a befektető esélye a várható értékhez közeli eredmény realizálására. Azonban fontos kiemelni, hogy kevés befektetői típus felel meg ezeknek az elvárásoknak, mint például egyes szuverén alapok, amelyek célja a generációkon átívelő befektetés.
• Miután az időátlag szekvenciafüggő, a befektetés időzítésének szerepe felértékelődik, bár hangsúlyozottan és elsődlegesen a pozíció méretezésével és kezelésével történik a kockázatmenedzsment. A piaci időzítés általában valamilyen feltételezett, többi befektetőhöz viszonyított versenyelőnyön alapszik („edge”), amely a befektetési tevékenység során nehezen számszerűsíthető, meglehetősen szubjektív mérték. (Zárt játékokban, mint például a Blackjack játék lapszámolással ez egy egzakt érték.) Érdemes kiemelni, hogy az „edge” nem azt jelenti, hogy – egyszerűen megfogalmazva – többször találjuk el az irányt, mint a többi befektető általában. Tévhit, hogy a piacon csak az képes az átlagot meghaladó hozamot elérni, akinek szinte mindig igaza van, ilyen befektető nincs. Sokkal inkább arról van szó, hogy figyelembe véve az ergodicitás hiányát egy adott esemény várható „kifizetését” jobban becsüljük az átlagnál és ennek megfelelő pozíció méretet választunk.
• Számos befektető (például Charlie Munger) hangsúlyozza, hogy a volatilitás mint kockázati mérték hibás feltételezésen alapul, és ezért az erre épülő modellek (például a CAPM) használhatatlanok. Ez természetesen csak abban az esetben igaz, ha a fentebb említett „volatility drag” minimalizálásra kerül, ami a pozíció méretezéssel, a hosszú időtávval, és a tőke-áttétel megfelelő szintjével érhető el. A kockázat így már sokkal inkább a tartós tőkeveszteség bekövetkezése lesz, a volatilitás pedig a piac „ajándéka” a befektetők számára, amit olcsóbban történő vételekre lehet kihasználni. A fentiekből pontosan kiviláglik, hogy ehhez először a nagyobb volatilitású időszakban is „életben kell” maradni, hogy utána értékalapú befektetési stratégiát követő szereplőként jelentős diszkonttal („margin of safety”) vásárolni lehessen.

Nem tűnik bonyolultnak, de soha ne felejtsük: befektetni egyszerű, de nem könnyű. („Investing is simple, but not easy.” – Warren Buffett)

Tapaszti Attila

Az írás első része elérhető itt.

Kép forrása: pixabay.com